将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和. 记S=∑(1<=i<j<=5)xixj. 问：

(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取最大值；

(2)进一步地，对任意1<=i<j<=5，有|xi-xj|<=2，当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取最小值。

分析：首先要明确∑(1<=i<j<=5)xixj=x1x2+x1x3+x1x4+x1x5+x2x3+x2x4+x2x5+x3x4+x3x5+x4x5.

解决这个问题，需要大胆假设，走不出这一步，就无法解决这个问题。均值不等式给了我们启发，可以猜想：当x1,x2,x3,x4,x5之间的距离越小，或者说，波动越小时，S就会越大。比如，当x1=x2=x3=x4=x5时，S可能最大。但这样x1,x2,x3,x4,x5就都不是正整数。

因此我们假设任意两个数xi,xj之间的距离不大于1。然后不按套路出牌，用反证法，反证“正确的答案”是错误的，即存在x1,x2之间的距离大于1时，使S反而更大。通过证明反证的方法不正确，来反证反证的结果是正确的。

而第(2)小题则用列举法，并且结合(1)的解题过程，就可以得到答案。下面组织解题过程：

解：(1)设当|xi-xj|<=1,(1<=i<j<=5)时，S取得最大值.

若不成立，不妨设存在x1, x2，且x1-x2>=2，此时S=S'最大【这里的x1,x2是x1,x2,x3,x4,x5中的任意两个】

令x1'=x1-1, x2'=x2+1，则x1'+x2'=x1+x2, 此时x1'和x2'之间的距离变小了，而仍有x1’+x2'+x3+x4+x5=2006】

且x1'x2'=(x1-1)(x2+1)=x1x2+x1-x2-1>x1x2, 【这一步说明任意两个x1,x2，进行一次调整，使x1-1, x2+1后，结果S变小，这是解第(2)小题的依据】

即S'不是最大值，矛盾！